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By Antoine Chambert-Loir

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Lower than the identify of final Essays are collected a few of the articles and lectures which Mr. Henri Poincare himself had meant should still shape the fourth quantity of his writings at the philosophy of technology. All past essays and articles had already been integrated in that sequence. it'd be superfluous to indicate to the superb luck of the 1st 3 volumes.

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Pour qu’un élément de A soit inversible à gauche ( resp. à droite), il faut et il suffit qu’il n’appartienne à aucun idéal maximal à gauche ( resp. à droite) de A. Démonstration. — Soit a un élément de A. Dire que a est inversible à gauche signifie que l’idéal Aa est égal à A ; aucun idéal maximal de A ne peut contenir a. Dans le cas contraire, il existe un idéal à gauche maximal de A qui contient Aa et cet idéal maximal contient a. 54. — Soit A un anneau commutatif. Un idéal I de A est maximal si et seulement si l’anneau A/I est un corps.

ANNEAUX DE FRACTIONS (CAS COMMUTATIF) 27 50) Soit A un anneau, soit I un idéal bilatère de A et soit Mn (I) l’ensemble des matrices de Mn (A) dont tous les coefficients appartiennent à I. a) Montrer que Mn (I) est un idéal bilatère de Mn (A) et construire un isomorphisme d’anneaux de Mn (A)/Mn (I) sur Mn (A/I). b) Inversement, montrer que tout idéal bilatère de Mn (A) est de la forme Mn (I), pour I un idéal bilatère de A. 6. Anneaux de fractions (cas commutatif ) Au paragraphe précédent, nous avons d’une certaine façons « forcé » des éléments d’un anneau à être nuls ; nous voulons maintenant effectuer une opération opposée : rendre inversibles les éléments d’une partie convenable.

Un A-module à gauche est un groupe abélien M muni d’une application (multiplication externe, ou loi d’action) A × M → M, (a, m) → am vérifiant les propriétés suivantes : pour tous a, b ∈ A et tous m, n ∈ M, on a – (a + b)m = am + bm et a(m + n) = am + an (distributivité) ; – (ab)m = a(bm) (associativité) ; – 1m = m (élément neutre). 2. — a) Soit A un anneau ; la multiplication A × A → A munit le groupe abélien A de deux structures de modules, l’une à gauche et l’autre à droite. ). Soit I un idéal à gauche de A ; la multiplication de A, A × I → I, munit I d’une structure de A-module à gauche.

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Algèbre commutative [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir


by John
4.2

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